Das FJS mit Alternativen verglichen

Das FJS ist nicht das einzige Notationssystem für JI. Viele Komponisten interessieren sich für mikrotonale Musik, deshalb gibt es eine Großzahl von individuellen Notationssystemen für viele erfundene mikrotonale Tonsysteme. Die allergrößte Mehrheit davon ist aber nur für einen speziellen Aspekt der Mikrotonalität, z.B. eine besondere Division der Oktave, und reicht deshalb für JI nicht aus.

Das FJS ist genau für JI entworfen worden, und während es optimal für JI ist, kann es fast nichts anderes notieren. Es gibt zwei andere solche Systeme mit ähnlichen Zielen: das Helmholtz-Ellis-System und das Notationssystem von Ben Johnston.

Es gibt auch ein besonderes Notationssystem, die ich hier nicht berücksichtigen werde. Es heißt Sagittal, und es ist für alle mikrotonale Musik geeignet. Ich werde es aber hier nicht berücksichtigen, denn bei Sagittal geht es nur um die Darstellung von Tonhöhe, deshalb wird es immer mehrdeutig bei JI sein, egal wie präzis seine Versetzungszeichen sind.

Die Helmholtz-Ellis-Notation (manchmal auch HEWM, Helmholtz-Ellis-Wolf-Monzo) war der erste Versuch, die Notenschrift zu erweitern, um JI zu notieren. Marc Sabat hat dazu die neueste Erweiterung entworfen, die JI bis zum 61-Limit notieren kann.

Dagegen ist das Notationssystem von Ben Johnston das Werk eines JI-Komponisten. Der gründlichste Artikel zu diesem Thema gibt Versetzungszeichen bis zum 31-Limit an; Kyle Ganns Handbuch auch.

Hier werde ich beide dieser Systeme mit dem FJS vergleichen.

Die Stammtöne

Wie auch das FJS nimmt Helmholtz-Ellis an, dass die übliche Notenschrift die pythagoreische Stimmung wiedergibt. Wie im FJS wird jedes pythagoreische Intervall genau einem üblichen Intervall zugeordnet, und jede reine Quinte hat die Größe von 3/2. Bis zu diesem Punkt sind das FJS und Helmholtz-Ellis also identisch. Wie im FJS promoviert das die Einheitlichkeit und eine Notation, die auf Intervallen, nicht Noten, basiert.

Ben Johnston dagegen ist da ein bisschen… innovativer. Er benutzt eine andere Definition der Stammtöne und üblichen Versetzungszeichen. Traditionelle Notenschrift hat die folgende Bedeutung bei Ben Johnston:

• F – C – G – D ist eine Kette reiner Quinten (3/2).
• F – A, C – E, und G – H sind Naturterzen (5/4).
• Das Kreuz und das Be erhöhen bzw. erniedrigen um 25/24 (ein pythagoreischer chromatischer Halbton minus zwei syntonische Kommas; 1<²⁵).

(Ein syntonisches Komma ist 81/80.)

Ich nehme an, dass diese Wahl dem Zweck dient, dass C–E–G, F–A–C and G–H–D alle 4:5:6-Durdreiklänge sind, und C–Es–G, F–As–C and G–B–D alle 10:12:15-Molldreiklänge sind. Also haben wir C–D–E–F–G–A–H–C als die ptolemäische Tonleiter oder Natur-Dur-Tonleiter, und C–D–Es–F–G–As–B–C als die Natur-Moll-Tonleiter.

Ich nehme deshalb also an, dass diese Wahl die Absicht hatte, diatonische 5-Limit-Musik einfacher zu repräsentieren, gegen alles andere.

Das stimmt aber nicht; selbst diatonische 5-Limit-Musik wird dadurch schwieriger. D–A ist keine reine Quinte, sondern 40/27. Dasselbe gilt auch für die Übergangsquinte H–Fis (oder auch B–F). Das heißt, dass Johnstons Versetzungszeichen für das syntonische Komma (ein Plus nach oben, oder ein Minus nach unten) gibt es überall. Bei Tonalsoft, der Enzyklopädie für mikrotonale Musik, schreibt Joe Monzo Folgendes über die Johnston-Notation:

Viele Theoretiker sind der Meinung, dass Johnstons Notationsidee gut ist, aber dass sie verbessert werden könnte, indem eine pythagoreische anstatt einer 5-Limit-Skala als Basis benutzt wäre.

Die Widersprüche dieser Stammtöne bewirken eine Lawine von Problemen in Johnstons Notationssystem. Sei also nicht überrascht, dass ich immer wieder zu diesem Problem zurückkommen werde.

Stimmungen ohne der Zahl 5, wie z.B. das Well-Tuned Piano von La Monte Young (die nur die Primfaktoren 2, 3, und 7 benutzt), benötigt viele syntonische Kommas in Johnstons Darstellung, obwohl die Zahl 5 nie in der Stimmung vorkommt. Das ist einfach Unsinn. (Am unteren Ende dieser Seite zeige ich viele solche Vergleiche.)

Es ist praktisch unmöglich, in Johnston-Notation zu transponieren. Ein Stück in Helmholtz-Ellis oder dem FJS kann man sehr leicht um eine 3/2-Quinte transponieren, indem man einfach die pythagoreischen Teile der Notennamen transponiert, und keine mikrotonalen Versetzungszeichen verändert. Man kann es auch leicht um ein nicht-pythagoreisches Intervall, wie 5/4, transponieren: transponiere einfach um 81/64 und addiere dann +5 zu allen Noten. Im Unterschied dazu kann ein Stück in Johnston-Notation nur schwierig um ein pythagoreisches Intervall oder 5-Limit-Intervall, ohne etwas Komplizierteres überhaupt zu erwähnen. War das Stück ursprünglich in G-Dur, so wird die Transposition zu D-Dur ein syntonisches Komma (ein Plus) bei jedem A bewirken, denn G–D (3/2) ist nicht gleich D–A (40/27), und bei jedem F, denn G–B (6/5) ist nicht gleich D–F (32/27). Transponierende Instrumente müssten ihre Stimme komplett mit unzähligen Plus- und Minus-Zeichen neu schreiben, auch wenn die Transposition so einfach ist wie ein Ganzton. Das sieht man klar im Handbuch von Kyle Gann, das sieben verschiedene Versionen der Obertonreihe 16–32 zeigt, je nachdem, was der Grundton ist!

Bemerkung: Kyle Gann hat zu diesem Punkt eine interessante Antwort bei sich geschrieben. Ich spreche sie direkt am unteren Ende dieser Seite an.

Ein Punkt für Helmholtz-Ellis und das FJS.

FJS: 1, HE: 1, Johnston: 0.

Wahl der Versetzungszeichen

Sowohl Helmholtz-Ellis als auch Johnston, wie das FJS, schreiben den Rest von JI mithilfe von Versetzungszeichen um Kommas auf.

So sieht die Liste bis zum 61-Limit für Helmholtz-Ellis aus:

• 81/80, ein 5-Komma.
• 64/63, ein 7-Komma.
• 33/32, ein 11-Komma.
• 27/26, ein 13-Komma.
• 256/255, ein 17-Komma mit einem 5er-Faktor.
• 513/512, ein 19-Komma.
• 736/729, ein 23-Komma.
• 145/144, ein 29-Komma mit einem 5er-Faktor.
• 1024/1023, ein 31-Komma mit einem 11er-Faktor.
• 297/296, ein 37-Komma mit einem 11er-Faktor.
• 6561/6560, ein 41-Komma mit einem 5er-Faktor.
• 129/128, ein 43-Komma.
• 2304/2303, ein 47-Komma mit einem 49er-Faktor.
• 160/159, ein 53-Komma mit einem 5er-Faktor.
• 768/767, ein 59-Komma mit einem 13er-Faktor.
• 1281/1280, ein 61-Komma mit einem 5er- und 7er-Faktor.

Ein paar dieser Versetzungszeichen stimmen mit dem FJS überein: 5, 7, 11, 19, 23, und 43.

Was man am deutlichsten sieht, ist, dass die Versetzungszeichen für 17, 29, 31, 37, 41, 47, 53, 59, und 61 auch andere Faktoren als 2, 3, und die eine Primzahl enthalten. Die einzigen Kommas bei Helmholtz-Ellis, die übrig bleiben, sind die, die mit dem FJS übereinstimmen, und 13. (Von den Primzahlen zwischen 32 und 64 hat nur 43 keine überflüssigen Faktoren.)

Warum ist das ein Problem? Obwohl sie immer noch aufgeschrieben werden können, brauchen sie zwei Versetzungszeichen aus zwei verschiedenen Primzahlen, was total überflüssig ist. Es sieht aus, als ob alle Kommas nach dem 23-Komma genau so ausgewählt wurden, damit ihr Verhältnis die Form $\frac{n+1}{n}$ hat, auch wenn das eine komplizierte Primfaktorzerlegung bedeutet. (Was besonders auffällt, ist, dass so eine Form gar nicht garantiert, dass das Komma auch klein ist. Ein berühmtes Komma: 1029/1024, ist sehr klein: der Unterschied zwischen einer 3/2-Quinte und drei Intervallen von 8/7.)

Indem Helmholtz-Ellis diese Kommas ablehnt, benutzt es recycelte Primzahlen, und dadurch macht die Darstellung höherer JI-Intervalle viel komplizierter. Die Darstellung von 17/16 beispielsweise benötigt 16/15 erniedrigt um 256/255, wobei 16/15 selbst 256/243 erhöht um 81/80 ist. Zwei Versetzungszeichen für ein einfaches Primzahlintervall? Mindestens benötigt keines der Intervalle bis zum 31-Limit mehr als zwei Versetzungszeichen.

Es gibt auch große Unterschiede zwischen Größen der Kommas; 27/26 ist enorm im Vergleich zu 6561/6560.

Wie sieht also Ben Johnston aus? Hier ist die Liste bis zum 31-Limit:

• 81/80, ein 5-Komma, welches kein eigentliches Versetzungszeichen ist, sondern eher eine Regulierung (weil Johnstons Notation sowieso überall syntonische Kommas um sich herum hat).
• 35/36, ein 7-Komma mit einem 5er-Faktor.
• 33/32, ein 11-Komma.
• 65/64, ein 13-Komma mit einem 5er-Faktor.
• 51/50, ein 17-Komma mit einem 25er-Faktor.
• 95/96, ein 19-Komma mit einem 5er-Faktor.
• 46/45, ein 23-Komma mit einem 5er-Faktor.
• 145/144, ein 29-Komma mit einem 5er-Faktor.
• 31/30, ein 31-Komma mit einem 5er-Faktor.

Natürlich haben alle diese Versetzungszeichen außer dem 11-Komma 5er-Faktoren; das 17-Komma hat davon sogar zwei. Es ist wahrscheinlich eine Regulierung, die die vielen 5er-Faktoren in den Stammtönen ausgleicht. Es scheint, als ob diese Kommas ein Versuch sind, Johnstons Fehler zu korrigieren. Dass hier auch Kommas der Form $\frac{n+1}{n}$ vorhanden sind, scheint diesmal Zufall zu sein.

Diese zusätzlichen Faktoren können hier nicht so kritisiert werden wie bei Helmholtz-Ellis; hier sind sie logisch im Kontext der überhaupt nicht logischen Stammtöne. 65/64 verwandelt 8/5 in 13/8; 51/50 verwandelt 25/24 in 17/16; 46/45 verwandelt 45/32 in 23/16. Sie verwandeln einfache 5-Limit-Intervalle in Primzahlintervalle.

Das FJS ähnelt hier dem Johnston-System; es ordnet immer die pythagoreische Stimmung den Primzahlen zu, ohne zusätzliche Faktoren.

Ein Punkt für Johnston und das FJS.

FJS: 2, HE: 1, Johnston: 1.

Herkunft der Versetzungszeichen

Wo kommen sie denn also her?

Die Antwort lautet: weder Helmholtz-Ellis noch Johnston geben einen Grund.

Helmholtz-Ellis hat zwar 81/80 (das syntonische Komma) und 64/63 (das septimale Komma), die meiner Meinung nach wegen ihrer historischen Bedeutung vorkommen. 33/32 und 27/26 sind Vierteltönen des 11- und 13-Limits ähnlich. Die 17- und 19-Kommas basieren auf Übereinstimmungen mit 2er-Potenzen: 256/255 sowie 513/512. Die 23- und 43-Kommas stimmen mit dem FJS überein. Der Rest wirkt zufällig, als ob diese Kommas nach einer blinden Suche in der Obertonreihe gefunden würden.

Johnston hat natürlich 81/80, um seine eigene Widersprüche zu korrigieren, der Rest der Kommas erkennt man aber nicht, denn sie sind Zuordnungen aus dem 5-Limit zu den Primzahlintervallen, und manche davon sind wirklich merkwürdig. Man würde erwarten, dass 256/255 eher bei Johnston als in Helmholtz-Ellis vorkommen würde; das stimmt aber nicht, Johnston benutzt 51/50, dass den chromatischen und nicht den diatonischen Halbton an 17/16 zuordnet.

Wieso ist die Frage der Herkunft überhaupt wichtig? Im FJS stammen alle Kommas aus einem Algorithmus. Das gilt weder für Helmholtz-Ellis noch für Johnston. Das heißt, die Liste muss man sich merken oder ständig nachgucken. Ohne diese Listen kann man nicht einmal anfangen.

Das ist einer der drei wichtigsten Vorteile des Algorithmus für das FJS. Es ist das Äquivalent einer neutralen internationalen Sprache.

Ein Punkt für das FJS und ein halber für Helmholtz-Ellis.

FJS: 3, HE: 1.5, Johnston: 1.

Form der Versetzungszeichen

Schauen wir uns also an, wie man diese Versetzungszeichen überhaupt schreibt.

Marc Sabat und Wolfgang von Schweinitz haben eine Liste für das Helmholtz-Ellis-System entworfen, die man hier sieht.

Was ist das denn? Ein einzigartiges Symbol für jedes Limit, das fast gar nicht mit dem Limit selbst verwandt ist? Schade, noch eine andere Serie zufälliger Formen, die man sich merken oder ständig nachschauen muss…

Das Einzige, was ich bemerken konnte, war durch meine eigene Analyse. Helmholtz-Ellis teilt seine Versetzungszeichen in vier Gruppen nach Größe: Dritteltöne, Vierteltöne, Kommas, und Schismen. Es gibt nur ein Drittelton (27/26) und nur ein Viertelton (33/32); diese schreibt man mit veränderten Vierteltonakzidenzien. Schismen bis zum 31-Limit schreibt man mit Schrägstrichen, oder Plus- und Minus-Zeichen, während Kommas Pfeile benutzen. Von 32 bis 64 werden Klammern in Verbindung mit anderen schon benutzten Versetzungszeichen verwendet, und es sieht wieder zufällig aus.

Dazu funktionieren 5-Limit-Versetzungszeichen noch ganz anders. Anstatt unabhängig zu sein, werden sie immer an pythagoreische Versetzungszeichen angeklebt. Das heißt, dass es unmöglich ist, ein 5-Limit-Versetzungszeichen allein zu schreiben. Es ist ein bisschen merkwürdig. In C-Dur ist es komisch, ein Auflösungszeichen bei einem E nur dafür zu schreiben, um dazu einen Pfeil nach unten zuzukleben, aber es geht.

Bei Ben Johnston sieht es viel, viel besser aus. Obwohl seine Kommas immer noch zufällige Konstanten sind, sind die Symbole dieser Kommas komplett regelmäßig ab dem 13-Limit. Unregelmäßig sind nur: der 5-Limit mit einem Plus und Minus für ein syntonisches Komma, der 7-Limit mit einem Pfeil, der wie die Ziffer 7 aussieht (genauso wie bei Helmholtz-Ellis) für 35/36, und der 11-Limit mit einem Pfeil nach oben oder unten für 33/32. (Das Versetzungszeichen für den 7-Limit kann man an pythagoreische Versetzungszeichen ankleben, aber hier ist es kein Problem, denn es besteht keine Pflicht.)

Ab dem 13-Limit benutzt jedes Versetzungszeichen einfach die Primzahl selbst für das positive Zeichen… (ja, mit Schwung geht’s los!)

…und die umgedrehte Primzahl für das negative Zeichen. Wirklich? Es ist nur deshalb kein riesiges Problem, weil das 11-Limit selbst mit einem unregelmäßigen Zeichen notiert wird, und nicht mit der Zahl „11“, die sich bei Umdrehung nicht verändert, falls die Ziffer 1 als senkrechte Linie geschrieben wird. Falls nicht, dann ist es bei 686989 zum ersten Mal ein Problem.

Das FJS benutzt die Zahl selbst, um alle Versetzungszeichen darzustellen, man kehrt sie mit einem Strich um, und man verbindet sie durch Multiplikation. Ich nehme an, dass Johnstons Versetzungszeichen einfach durch Verkettung verbunden werden (was manchmal vieldeutig ist; 137 sowie 13 und 7 sind alle Primzahlen, ich danke dem Leser Volleo 6144 für diese Anmerkung). Ich habe aber keinen solchen Fall bei Johnston gesehen.

Ein Punkt für das FJS und ein halber für Johnston.

FJS: 4, HE: 1.5, Johnston: 1.5.

Verhalten der Versetzungszeichen

Sehen wir also, wie die Versetzungszeichen funktionieren. Wie verändern sie die Noten, vor denen sie vorkommen?

In Helmholtz-Ellis wird eine Note durch positive Versetzungszeichen immer erhöht und durch negative immer erniedrigt. Das ist eine Verallgemeinerung der Idee, dass ein Kreuz eine Note erhöht, und ein Be sie erniedrigt.

Bei Ben Johnston dagegen sind alle positiven Versetzungszeichen otonal und alle negativen utonal (81/80 ausgenommen). Das ist eine Verallgemeinerung der Idee, dass ein Kreuz Quinten addiert und ein Be Quinten subtrahiert.

Im FJS sind positive Versetzungszeichen immer otonal und negative immer utonal.

Wahrscheinlich ist dies der Punkt, wo mein Vergleich vielleicht kontrovers ist, denn hier kann ich keinen direkten Grund dafür geben, wieso ich glaube, dass die Indikation von Otonalität/Utonalität besser ist als eine Indikation der Richtung. Das Einzige, was ich dazu sagen kann, ist Folgendes: Nachdem ich das FJS erfunden habe, wo ursprünglich alle Versetzungszeichen noch die Richtung zeigten, und als ich es zur Analyse von einigen JI-Stimmungen benutzte, war mir plötzlich auf einmal klar, dass die Indikation der Richtung überflüssig kompliziert ist, und dass ich sie in eine Indikation der Tonalität ändern werde. Seitdem hat sich mein Denken im FJS drastisch vereinfacht, und blieb so. Ich kann nur hoffen, dass du, der Leser, das auch mit der Zeit verstehst.

Es hätte fast ein Unentschieden zwischen FJS und Johnston sein können. Aber bei Johnston ist 81/80 von dieser Regel ausgenommen. Deswegen jedoch, dass 81/80 einen anderen Rang als andere Versetzungszeichen bei Johnston hat, und deswegen, dass Plus- und Minus-Zeichen wirklich die Konzepte „aufwärts“ und „abwärts“ übermitteln, werde ich diese kleine Sünde verzeihen.

(Falls du denkst, dass die Indikation der Richtung doch besser ist, kannst du Helmholtz-Ellis anstatt dem FJS und Johnston den Punkt geben. Es macht am Ende sowieso keinen Unterschied.)

Ein Punkt für Johnston und das FJS.

FJS: 5, HE: 1.5, Johnston: 2.5.

Notennamen

Wir sehen uns jetzt etwas anderes an: Notennamen (also auch Intervallnamen). Während Helmholtz-Ellis und Johnston beide diese Idee als unwichtig betrachten, das FJS fängt hier an und konstruiert die Notenschrift von den Notennamen.

Das Benennen von Noten ist praktisch unmöglich in Helmholtz-Ellis wegen der zufälligen Zeichen, es sei denn, man würde entweder ein komplett anderes System benutzen oder mit der speziellen Helmholtz-Ellis-Schriftart tippen. Das habe ich bisher nicht gesehen.

Was Johnston angeht, sieht es aus, als ob seine Versetzungszeichen so etwas ermöglichen würden. Die Johnston-Notation hat aber auch ein seltsames System, indem manche Versetzungszeichen zwischen dem Stammton und dem pythagoreischen Versetzungszeichen geschrieben werden, und zwar keine Regel, welche. Was man Es⁷ im FJS nennen würde, wäre bei Johnston E7♭+ (sic). Das 7-Zeichen wird zwischen dem E und dem Be geschrieben, der Plus aber nach dem Be. Was am meisten wehtut, ist, dass das „septimale Komma“ bei Johnston mit zwei Versetzungszeichen dargestellt wird: zuerst „herunter um ein syntonisches plus ein septimales Komma“, dann „wieder zurück um ein syntonisches“.

Johnston hat auch ein hochentwickeltes System der Aussprache seiner Notennamen. Es ähnelt dem des FJS, aber ist viel komplizierter, weil die 5-, 7-, und 11-Kommas unregelmäßige Zeichen haben. Kyle Gann zeigt uns dazu ein Beispiel auf Englisch: „G-sharp-up-arrow-double-sub-seven-minus“: etwa „Gis-Pfeil-nach-oben-doppel-sub-sieben-Minus“. Das ist viel komplizierter, als das vertrackteste, was man bei dem FJS erfinden könnte, immer genau nach dem Schema: (pythagoreischer Teil)-(optionales „super“)-(Otonales)-(„sub“)-(Utonales), in dieser Reihenfolge. Gann schreibt, dass die Verbindungen der Versetzungszeichen keine standardisierte Reihenfolge haben.

Dieses System ist trotzdem besser als gar nichts.

Weder Helmholtz-Ellis noch Johnston kann Intervalle benennen, was eine direkte Übersetzung von grundtonlosen JI-Verhältnissen ist.

Ein Punkt für das FJS und ein halber für Johnston.

FJS: 6, HE: 1.5, Johnston: 3.

Weite und Präzision

Alle drei Systeme notieren JI ohne Zweifel, was Tonhöhe angeht, es gibt keine maximale Präzision. (Deshalb habe ich Sagittal nicht berücksichtigt. Bei Sagittal gibt es immer eine maximale Präzision. Außerdem basiert Sagittal sowieso auf ganz anderen Prinzipien, weil es nicht nur JI notieren kann.)

Was Weite angeht: Ich könnte sagen, dass das FJS den 1. Platz erreicht, danach Helmholtz-Ellis, danach Johnston. Das ist aber ein bisschen sinnlos; wir vergleichen einfach die Zahlen nach ihrem heutigen Wert. Es macht keinen Unterschied, dass Helmholtz-Ellis den 61-Limit darstellen kann, Johnston aber nur den 31-Limit, weil jemand ohne Probleme zusätzliche Kommas finden könnte und Johnstons Notation bis zum 127-Limit erweitern könnte. Wichtig ist, dass das FJS die ganze Naturtonstimmung darstellen kann, und dass es das jetzt kann. Nach dem heutigen Design kann weder Helmholtz-Ellis noch Johnston jemals so viel JI darstellen, wie das FJS. Um diese zwei Systeme zu erweitern, muss immer jemand sich die Zeit nehmen, die Obertonreihe durchzusuchen. Das FJS tut es automatisch und ist deshalb immer voraus.

Das ist der zweite sehr wichtige Vorteil, dass der Algorithmus des FJS mit sich bringt: es hat wortwörtlich keinen Limit.

(Helmholtz-Ellis hat sich aber einen halben Punkt verdient, weil es so weit voraus ist.)

Ein Punkt für das FJS und ein halber für Helmholtz-Ellis.

FJS: 7, HE: 2, Johnston: 3.

Automatisierung

Der dritte und letzte Vorteil des Algorithmus beim FJS ist, dass es automatisiert werden kann. Aus jedem möglichen JI-Verhältnis kann die Darstellung im FJS berechnet werden, mithilfe nur des Toleranzradius. Deshalb wird das FJS in der Zukunft in Musikprogrammen integriert werden können.

Helmholtz-Ellis kann das auch. Es gibt nur den Unterschied, dass manchmal zwei Versetzungszeichen für eine Primzahl benutzt werden müssen. Es ist aber möglich, es ohne Probleme zu automatisieren. Es gibt dafür einen Online-Rechner.

Was ist mit Johnston? Dieselbe Website hat auch einen Konverter von Johnston zu HE. Das funktioniert, wenn du dich immer auf den Computer verlassen willst. Oft aber, wenn wir komponieren, wollen wir nicht die ganze Zeit mit Rechnern arbeiten.

Das FJS hat das Verdienst, dass seine Algorithmen sich sehr einfach im Kopf durchführen. Daher kann man es viel schneller verwenden. Aber wenn du dasselbe bei Johnston probieren möchtest…

Für jede 5 im Zähler: Addiere eine große Terz. (Und einen Plus bei D.)

Für jede 7 im Zähler: Addiere eine kleine Septime und eine 7. (Und einen Plus bei G, H, oder D.)

Für jede 9 im Zähler: Addiere eine große Sekunde. (Und einen Plus bei E, G, H, oder D.)

Für jede 11 im Zähler: Addiere eine reine Quarte und ↑. (Und einen Minus bei A oder F.)

Für jede 13 im Zähler: Addiere eine kleine Sexte und eine 13. (Und einen Minus bei F.)

Für jede 17 im Zähler: Addiere ein Kreuz und eine 17.

Für jede 19 im Zähler: Addiere eine kleine Terz und eine 19. (Und einen Plus bei D.)

Das ist nur ein Teil der langen Liste von Regeln, die man braucht, um ein JI-Verhältnis in Johnston-Notation umzurechnen, laut Kyle Gann.

Was besonders irritiert, ist das Auftreten zusätzlicher Regeln für Plus- und Minus-Zeichen bei spezifischen Noten, die sich für jede Primzahl ändern. (Ich verstehe, dass sie von der Primzahl deterministisch folgen. Das ändert aber nichts daran, dass es übermäßig kompliziert ist!)

Und das ist wirklich bei Johnston nur ein Teil davon, was sich im FJS in einen kleinen Algorithmus zusammenfassen lässt.

Ein Punkt für Helmholtz-Ellis und das FJS.

FJS: 8, HE: 3, Johnston: 3.

Beispiele

Also, du denkst jetzt wahrscheinlich, was für eine abstrakte Analyse, was ist mit eigentlichen Beispielen? Wie sieht die Praxis aus?

Ich habe hier Beispiele häufiger JI-Kontexte zusammengefasst, damit man sehen kann, wie sich alle drei Systeme in Leistungsfähigkeit unterscheiden. (Bei Helmholtz-Ellis benutze ich für Notennamen einfach +5, +7, usw. für die oberen und −5, −7, usw. für die unteren Versetzungszeichen, genauso wie sie in der Notenschrift funktionieren.)

Die Obertonreihe 1–32

FJS. Diese Tabelle zu schreiben, dauerte eine Minute.

Helmholtz–Ellis. Das dauerte zwei Minuten, und ich war zuerst nicht bei allen Ergebnissen sicher. Ich habe sie mit dem Rechner überprüft.

Ben Johnston. Das dauerte drei Minuten, und zwar dabei habe ich die Obertonreihe bei Johnston schon mal gesehen. Auf Deutsch schreibe ich bei Johnston die Akzidenzien immer getrennt (z.B. H♭ und nicht B), weil sie manchmal am Notennamen sind, und manchmal gibt es ein anderes Zeichen dazwischen.

Das „Well–Tuned Piano“ von La Monte Young

Youngs Notation. (Die Noten sind nach Tonhöhe sortiert, deshalb steht Gis vor G, weil es eine niedrigere Tonhöhe ist.)

Es, E, F, Fis, Gis, G, A, B, H, Cis, C, D, Es.

FJS. Genauso kurz wie Young, ohne sich auf zufälliger Zuordnung der Tastatur zu verlassen. Notiert auch den Grundton mit seinem richtigen Namen, in Bezug auf A = 440 Hz, die Stimmung von Youngs Klavier.

D₇, E, E₇, F⁷, G⁷, G, A, A₇, B⁷, C⁷, C, D, D₇.

So würde die Tonleiter bei Es als Grundton aussehen; ein bisschen länger.

Es, F⁷, F, Ges⁴⁹, As⁴⁹, As⁷, B⁷, B, Ces⁴⁹, Des⁴⁹, Des⁷, Es⁷, Es.

Helmholtz–Ellis. Genauso kurz wie das FJS bei Es.

Es, F−7, F, Ges−7−7, As−7−7, As−7, B−7, B, Ces−7−7, Des−7−7, Des−7, Es−7, Es.

Ben Johnston. Viel zu lang. Beachte auch die vielen syntonischen Kommas in einer Stimmung mit keinem 5er–Faktor.

E♭, F7++, F+, G77♭+, A77♭++, A7♭+, H7♭+, H♭, C77♭+, D77♭+, D7♭, E7♭+, E♭.

Die „Harp of New Albion“ von Terry Riley

Rileys Notation.

Cis, D, Dis, E, Eis, Fis, G, Gis, A, Ais, H, His, Cis.

FJS. Die pythagoreischen Tonhöhen stimmen mit Riley überein.

Cis⁵, D, Dis⁵, E, Eis²⁵, Fis⁵, G, Gis⁵, A, Ais²⁵, H⁵, His²⁵, Cis⁵.

Helmholtz-Ellis. Beinahe identisch wie das FJS. Ein Unentschieden.

Cis−5, D, Dis−5, E, Eis−5−5, Fis−5, G, Gis−5, A, Ais−5−5, H−5, His−5−5, Cis−5.

Ben Johnston. Angeblich für 5-Limit-Musik optimal. Es hat ungefähr drei Minuten gedauert, das umzurechnen.

C♯+, D, D♯+, E+, E♯+, F♯+, G, G♯+, A+, A♯+, H, H♯+, C♯+.

Notationsvergleich

Bei diesem Vergleich der Praxis der drei Systeme benutze ich eine mittelalterliche Melodie im dorischen Modus in der Tonart D, harmonisiert, 12 Takte lang. Die Tatsache, dass dies der 5-Limit ist, sollte Johnston unfair bevorzugen… na ja, sieh dir es mal an.

Hör zu:

Mehr Vergleiche findest du unter den Beispielen.

Entscheidung

Es wundert nicht, dass das FJS das beste Notationssystem für die Naturtonstimmung ist. Sowohl Helmholtz-Ellis als auch Johnston sind wegen ihrer vielen Schwachpunkte schwierig zu benutzen und weniger effektiv. Das FJS ist viel besser als sowohl Helmholtz-Ellis als auch Johnston, was die Notation der Naturtonstimmung angeht.

Eine Anmerkung für Kyle Gann

Wie ich schon erwähnt habe: Das Handbuch von Kyle Gann für das Johnston-System enthält einen Nachtrag, wo er erklärt, warum er Johnston über Helmholtz-Ellis bevorzugt, obwohl seine Stammtöne so schlecht gewählt sind.

Du erklärst, dass das Bestimmen der Tonhöhe von B in der Tonart C viel einfacher bei Johnston als bei Helmholtz-Ellis ist. Bei Johnston ist C zu H 15/8, und ein Be erniedrigt es um 25/24, also 9/5. In Helmholtz-Ellis dagegen ist C zu H 243/128, und ein Be erniedrigt um 2187/2048, und nur mit einem Taschenrechner erfährst du, dass das Ergebnis 16/9 lautet. Du hältst die Einheitlichkeit als nicht besonders wichtig, und du lehnst Helmholtz-Ellis ab, weil es dich angeblich zwingen würde, die ganze Zeit mit vierstelligen Zahlen zu rechnen.

Ich antworte, weil dieses Argument darauf basiert, dass Helmholtz-Ellis, genau wie das FJS, die pythagoreische Skala als Basis benutzt. Wenn dieses Argument also gegen Helmholtz-Ellis wirkt, dann auch gegen das FJS.

Ich antworte auch, weil dieses Argument unlogisch ist und ein Fehler.

Es stimmt, dass Ben-Johnston-Notation den Benutzer dazu zwingt, immer zu multiplizieren und zu dividieren, weil selbst die einfachsten Noten aus vielen jonglierten Faktoren von fünf bestehen. Weil die 5-Limit-Skala sich selbst widerspricht, heißt es auch, dass der Benutzer immer in dieser Skala denken muss, anstatt in Intervallen.

Wenn du die Helmholtz-Ellis-Notation ausprobierst, nimmst du automatisch dieselben Einschränkungen an, als bei Johnston: du willst die Größe einer kleinen Septime mithilfe einer großen Septime minus einen chromatischen Halbton bestimmen. Du kritisierst Helmholtz-Ellis dafür, dass eines dieser Intervalle jetzt vierstellige Zahlen benutzt, während Johnston oft nur zweistellige Zahlen hat.

Die kleine Septime ist aber so nah am Quintenzirkel; es sind einfach zwei reine Quarten, beide 4/3 (nicht so wie bei Johnston, wo C–F 4/3 beträgt, F–B aber 27/20). Wieso würdest du fünf Quinten (große Septime) nach oben gehen, und dann wieder sieben Quinten (chromatischer Halbton) nach unten? Würdest du von North Carolina nach South Carolina durch Maine reisen? Für G–(Fis)–F hättest du wahrscheinlich eine andere Meinung, obwohl es im FJS keinen Unterschied gibt. Nur deswegen, dass die kleine Septime von C mit einem Be geschrieben wird, heißt nicht, dass du sie so sehen musst; du tust es, weil Johnston dich dazu zwingt. Moduliere doch nach G, oder D, oder A, oder E, oder H. Dort ist die kleine Septime ein Stammton. Im Vergleich zu Johnston ändert sich ihre Größe aber nicht.

Dein Algorithmus dafür, die JI–Verhältnisse aus der Notation zu berechnen, beginnt tatsächlich damit an, die Stammtöne zu analysieren. Es ist deswegen so, dass dieses Intervall von den Noten bei Johnston abhängt, es gibt also keinen anderen Weg. D zu E ist zum Beispiel 10/9, ein anderes Intervall als C zu D, 9/8. Helmholtz–Ellis und das FJS haben diese unsinnige Beschränkung nicht. Jede große Sekunde ist 9/8. Deshalb kann ein Komponist befreit davon sein, immer in der diatonischen Tonleiter zu denken, und es erlaubt uns, Intervallnamen direkt in Verhältnisse zu übersetzen.

Dass C zu B 16/9 beträgt, könntest du auf vielerlei Weisen herausfinden, alle davon viel einfacher als 243/128 mal 2048/2187; du hast den schwierigsten Weg dazu gefunden (den einzigen möglichen, um bei Johnston 9/5 zu erhalten).

Du könntest zum Beispiel bemerken, dass C und B beide keine mikrotonalen Versetzungszeichen haben, deshalb per Definition der Stammtöne muss die kleine Septime zwischen ihnen pythagoreisch sein, also 16/9. Oder du könntest bemerken, dass sie aus zwei 4/3–Quarten besteht, also 16/9. Oder du könntest bemerken, dass sie die Umkehrung des 9/8–Ganztons ist, also 16/9. Das FJS gibt dir so eine Freiheit schneller und effektiver Wege, zu lesen und zu schreiben, nicht wie der langsame, langweilige Prozess Johnstons.

Dein Handbuch gibt Folgendes als Beispiel von Notenschrift in Johnstons Notation, einen Auszug aus Ben Johnstons Streichquartett Nr. 9:

In nur zwei Takten und vier Instrumenten, dazu in der Tonart C, der angeblich besten für die Johnston-Notation, in einer Skala, die nur aus der Obertonreihe 16-32 besteht, gelingt es ihm, nicht einen und nicht zwei, sondern drei Fehler zu machen: erstens, 99/64 anstatt 11/8 im ersten Takt bei der Bratsche, zweitens, 39/32 anstatt 19/16 im zweiten Takt bei allen Instrumenten außer der ersten Violine, und letztens, die letzten zwei Noten für die Bratsche betragen 153/128 und 9/8 anstatt 17/16 und 1/1. (Alle Verhältnisse sind hier von C und ohne Oktaven gemeint.)

Mich überrascht das gar nicht, dass ein Wirrwarr wie Johnstons Notation so viel Durcheinander verursacht, auch wenn in einer so einfachen Tonart komponiert wird (geschweige denn D oder B).

Im Gegensatz dazu steht hier derselbe Auszug (inklusive Fehler) im FJS. Bemerke, wie die Fehler jetzt viel klarer werden.

So wie ich es sehe, bist du zu Handschellen bei Johnston gewohnt, und paralysiert, wenn Helmholtz–Ellis oder das FJS dich befreien, wegen der vielen Jahre in den Handschellen.

Gib zu: das FJS, und nicht die Johnston-Notation, ist „elegant“, „intuitiv und genau“, „sehr logisch“ und „harmonisch sinnvoll“, „die die harmonischen Verhältnisse untermalt“.

Schalte dich auf das FJS um. Es wird die Mathematik und Notation deiner Kompositionen vielfach vereinfachen.

Oder nicht, und jongliere syntonische Kommas weiter.

Andere können andere Kriterien haben.