Comparaison du FJS aux alternatives

Le FJS n’est pas le seul système de notation pour JI. Beaucoup de compositeurs s’intéressent pour la musique microtonale, c’est pourquoi il y a beaucoup de systèmes très individuels pour la notation des accords microtonaux. Pourtant, la plupart d’entre eux est adaptée à un seul aspect de la microtonalité, par exemple une seule division de l’octave, donc ne suffit pas pour JI.

Le FJS fut créé spécialement pour JI. Pendant qu’il est optimal pour JI, il ne peut représenter guère quelque chose d’autre. Il y a deux autres systèmes avec un but similaire : celui de Helmholtz-Ellis et celui de Ben Johnston.

Il y a aussi un système que je ne considère pas ici. Il s’appelle Sagittal ; il est adapté à toute la musique microtonale, mais je ne vais pas le mentionner ici, parce que Sagittal ne représente que la hauteur d’un son, donc il sera toujours ambigu en ce qui concerne JI, bien que ses altérations soient très précises.

La notation Helmholtz-Ellis (aussi appelée HEWM, Helmholtz-Ellis-Wolf-Monzo) était le premier essai d’étendre la notation de portée pour représenter JI. Marc Sabat a créé pour elle l’extension la plus récente qui peut représenter JI jusqu’à la 61-limite.

De l’autre côté, la notation de Ben Johnston a été développée par un seul compositeur JI. L’article le plus complet sur ce sujet énumère des altérations jusqu’à la 31-limite, ce qui est aussi indiqué dans un manuel par Kyle Gann.

Ici, je compare ces deux systèmes au FJS.

Les tons diatoniques

Comme aussi le FJS, Helmholtz-Ellis définit que la notation conventionnelle sert à représenter l’accord pythagoricien. Chaque intervalle pythagoricien n’a qu’une représentation avec un intervalle conventionnel, et chaque quinte juste s’élève à 3/2. Jusqu’à ici, il est donc identique au FJS. Comme dans le FJS, cela favorise la cohésion et une notation basée sur des intervalles, pas des notes concrètes.

En revanche, Ben Johnston est un peu plus… innovatif. Il utilise une définition différente de la notation conventionnelle, celle ci-dessous :

• Fa – Do – Sol – Ré est une chaîne de quintes justes (3/2).
• Fa – La, Do – Mi, et Sol – Si sont des tierces majeures justes (5/4).
• Le dièse et le bémol sont des altérations de 25/24 (un demi-ton chromatique pythagoricien moins deux commas syntoniques ; 1+²⁵).

(Un comma syntonique, c’est 81/80.)

Je suppose que ce choix est dû au fait que Do–Mi–Sol, Fa–La–Do et Sol–Si–Ré sont alors des triades majeures 4:5:6, et Do–Mi♭–Sol, Fa–La♭–Do et Sol–Si♭–Ré sont des triades mineures 10:12:15. Nous avons donc Do–Ré–Mi–Fa–Sol–La–Si–Do pour l’échelle ptolémaïque ou majeure naturelle, et Do–Ré–Mi♭–Fa–Sol–La♭–Si♭–Do pour la mineure naturelle.

Je suppose donc aussi que ce choix avait le but de simplifier la notation de la musique diatonique à la 5-limite, au prix de tout le reste.

Mais ce n’est pas vrai. Même la musique diatonique à la 5-limite devient plus difficile à noter à cause de cela. Ré–La n’est pas une quinte juste, mais 40/27, ce qui est aussi le cas pour la quinte de transition, Si–Fa♯ ou bien Si♭–Fa. Cela signifie qu’on trouve partout les altérations d’un comma syntonique (un signe plus : ascendant, un signe moins : descendant). Joe Monzo, l’auteur d’une encyclopédie de la musique microtonale en ligne, y écrit sur la notation de Johnston :

Beaucoup de théoreticiens croient que l’idée de Johnston est bonne, mais qu’elle pourrait être améliorée en utilisant une échelle pythagoricienne au lieu d’une de la 5-limite pour sa base.

Les contradictions de ces tons diatoniques causent une avalanche de problèmes chez Johnston. Ne soyez pas ainsi surpris ou surprise que je retourne souvent à ce problème fondamental.

Des accords sans aucun facteur de 5, par exemple celui du Well-Tuned Piano inventé par La Monte Young (qui n’utilise que les facteurs 2, 3, et 7), nécessitent beaucoup de commas syntoniques dans la représentation Johnston bien que le nombre 5 n’existe nulle part dans cet accord. C’est absolument ridicule. (En bas de ce site, vous trouvez beaucoup de comparaisons comme ça.)

C’est pratiquement impossible de transposer dans la notation de Johnston. Une pièce en Helmholtz-Ellis ou le FJS peut être transposée très facilement d’une quinte 3/2, en transposant tout simplement les parties pythagoriciennes de chaque note et en ne changeant aucune altération microtonale. On peut aussi facilement transposer d’un intervalle non pythagoricien, comme 5/4 : transposez tout simplement de 81/64 puis ajoutez un +5 à chaque note. Au contraire, une pièce en Johnston est très difficile à transposer d’un intervalle pythagoricien ou un de la 5-limite (sans parler de ceux au-delà). Une pièce en Sol majeur nécessiterait pendant une transposition en Ré majeur un comma syntonique (un signe plus) chez chaque La, parce que Sol–Ré (3/2) n’égale pas Ré–La (40/27), et chez chaque Fa, parce que Sol–Si♭ (6/5) n’égale pas Ré–Fa (32/27). Des instruments qui transposent devraient complètement récrire leur partition avec des milliers de signes plus et moins, même si leur intervalle de transposition n’est qu’une seconde majeure. On voit cela clairement dans le guide de Kyle Gann qui liste sept différentes versions de l’échelle harmonique 16–32 pour sept différents tons diatoniques comme tonique !

Remarque : Kyle Gann a écrit une réponse intéressante à ce problème. Je lui réponds directement en bas de ce site.

Un point pour Helmholtz-Ellis et le FJS.

FJS : 1, HE : 1, Johnston : 0.

Choix des altérations

Helmholtz-Ellis et Johnston, comme le FJS, écrivent le reste de JI en utilisant des altérations qui correspondent à des commas.

Voici la liste jusqu’à la 61-limite pour Helmholtz-Ellis :

• 81/80, un comma de 5.
• 64/63, un comma de 7.
• 33/32, un comma de 11.
• 27/26, un comma de 13.
• 256/255, un comma de 17 avec un facteur 5.
• 513/512, un comma de 19.
• 736/729, un comma de 23.
• 145/144, un comma de 29 avec un facteur 5.
• 1024/1023, un comma de 31 avec un facteur 11.
• 297/296, un comma de 37 avec un facteur 11.
• 6561/6560, un comma de 41 avec un facteur 5.
• 129/128, un comma de 43.
• 2304/2303, un comma de 47 avec un facteur 49.
• 160/159, un comma de 53 avec un facteur 5.
• 768/767, un comma de 59 avec un facteur 13.
• 1281/1280, un comma de 61 avec des facteurs 7 et 5.

Quelques altérations sont identiques dans le FJS : 5, 7, 11, 19, 23, et 43.

On voit le plus clairement que les altérations pour 17, 29, 31, 37, 41, 47, 53, 59, et 61 nécessitent des facteurs différents que 2, 3, et le nombre premier du comma. Chez Helmholtz-Ellis, seulement le nombre 13 et les commas qui sont identiques dans le FJS n’en ont pas. (Dans la seconde partie, entre 32 et 64, ce n’est que le nombre 43.)

Pourquoi est-ce que c’est un problème ? Bien qu’on puisse les noter sans problème, ils nécessitent deux altérations de deux nombres premiers différents, ce qui est beaucoup trop compliqué. Il semble que tous les commas après celui de 23 soient choisis pour que leur rapport soit toujours de la forme $\frac{n+1}{n}$, même si cela signifierait une factorisation compliquée. (Il saute aux yeux que cette forme ne garantit pas que le comma soit petit. Un comma bien connu, 1029/1024, n’a pas cette forme, mais pourtant il est très petit : la différence entre une quinte 3/2 et trois intervalles de 8/7.)

En ignorant ces commas alternatifs, Helmholtz-Ellis utilise des nombres premiers recyclés, et à cause de cela, les intervalles plus hauts deviennent beaucoup plus compliqués. La représentation de 17/16, par exemple, nécessite 16/15 baissé de 256/255, où 16/15 lui-même est 256/243 élevé de 81/80. Deux altérations pour un seul intervalle premier assez simple ? Soyons content qu’aucun intervalle jusqu’à la 31-limite n’en nécessite pas plus que deux.

Il y a aussi de grandes différences entre les dimensions des commas ; 27/26 est énorme comparé à 6561/6560.

Comment se comporte Ben Johnston ? Voici sa liste jusqu’à la 31-limite :

• 81/80, un comma de 5 qui n’est pas vraiment une altération, plutôt une compensation (puisqu’on voit les commas syntoniques quand même partout chez Johnston).
• 35/36, un comma de 7 avec un facteur 5.
• 33/32, un comma de 11.
• 65/64, un comma de 13 avec un facteur 5.
• 51/50, un comma de 17 avec un facteur 25.
• 95/96, un comma de 19 avec un facteur 5.
• 46/45, un comma de 23 avec un facteur 5.
• 145/144, un comma de 29 avec un facteur 5.
• 31/30, un comma de 31 avec un facteur 5.

Tous ces commas sauf celui de 11 ont des altérations avec un facteur 5 ; celui de 17 en a même deux, bien sûr que oui. C’est probablement un ajustement contre les facteurs de 5 dans les tons diatoniques. Il semble que ces commas soient un essai de corriger l’erreur de Johnston. Les commas de la forme $\frac{n+1}{n}$ sont ici probablement une coïncidence.

Ces facteurs additionnels ne peuvent pas être critiqués ici autant que chez Helmholtz-Ellis ; ici, ils sont logiques dans le contexte illogique des tons diatoniques. 65/64 transforme 8/5 en 13/8, 51/50 transforme 25/24 en 17/16, 46/45 transforme 45/32 en 23/16. Ils transforment tous des intervalles simples de la 5-limite en intervalles premiers.

Le FJS est ici similaire à Johnston ; le FJS assigne toujours l’accord pythagoricien aux intervalles premiers, sans aucun autre facteur.

Un point pour Johnston et le FJS.

FJS : 2, HE : 1, Johnston : 1.

Étymologie des altérations

Donc, d’où viennent-elles ?

La réponse facile : ni Helmholtz-Ellis ni Johnston n’ont aucune raison.

Il est vrai que Helmholtz-Ellis a 81/80 (le comma syntonique) et 64/63 (le comma septimal) qui sont probablement dûs à leur importance historique. 33/32 et 27/26 sont similaires à des quarts de ton associés avec la 11- et la 13-limite. Les commas de 17 et 19 sont basés sur des coïncidences avec des exposants de 2 : 256/255 et 513/512. Les commas de 23 et 43 sont identiques dans le FJS. Et le reste ? Il semble commis au hasard, comme si ces commas étaient trouvés pendant une chasse aveugle dans l’échelle harmonique.

Bien sûr que Johnston a 81/80 aussi, pour corriger ses contradictions ; mais le reste des commas n’est pas reconnu, parce que ce sont des transformations de la 5-limite aux intervalles premiers, dont quelques sont vraiment bizarres. On dirait que 256/255 arriverait plutôt chez Johnston que chez Helmholtz-Ellis ; mais ce n’est pas vrai, Johnston utilise 51/50 qui transforme le demi-ton chromatique, pas le diatonique, en 17/16.

Pourquoi est-ce que cette question est importante ? Dans le FJS, tous les commas sont générés par un algorithme ; ni Helmholtz-Ellis ni Johnston n’ont cet avantage. Cela signifie qu’on devrait soit mémoriser, soit toujours chercher dans la liste ; sans ces listes, on ne pourrait pas même commencer.

Ceci est l’un des avantages les plus importants pour le FJS qui utilise un algorithme : un équivalent d’être neutre culturellement.

Un point pour le FJS et un demi-point pour Helmholtz-Ellis.

FJS : 3, HE : 1.5, Johnston : 1.

Forme des altérations

Voyons alors comment on écrit ces altérations.

Marc Sabat et Wolfgang von Schweinitz ont développé une liste pour le système Helmholtz-Ellis : voici.

Mais qu’est-ce que cela ? Un symbole unique pour chaque limite qui n’est presque pas du tout associé avec la limite elle-même ? Dommage, encore une liste de formes choisies par hasard qu’on doit soit mémoriser, soit chercher…

Les seules cohérences que j’ai pu trouver sont grâce à ma propre analyse. Helmholtz-Ellis trie ses altérations en quatre groupes selon la hauteur : des tiers de ton, des quarts de ton, des commas, et des schismes. Il n’y a qu’un seul tiers de ton (27/26) et un seul quart de ton (33/32), ils utilisent des altérations de quart de ton un peu modifiées. Les schismes jusqu’à la 31-limite utilisent soit des barres obliques, soit des signes plus et moins, pendant que les commas utilisent des flèches. De 32 à 64, on utilise des parenthèses avec des altérations déjà utilisées avant, choisi de retour par hasard.

De plus, les altérations de la 5-limite fonctionnent d’une manière complètement différente. Au lieu d’être indépendantes, elles sont toujours apposées à des altérations pythagoriciennes. Il est donc impossible d’écrire seulement une altération de la 5-limite, ce qui est un peu bizarre. En Do majeur, il est étrange de devoir écrire un signe bécarre devant un Mi seulement pour pouvoir y apposer une flèche descendante, mais ce n’est pas un trop grand problème.

Ben Johnston se comporte beaucoup mieux. Bien que ses commas soient toujours une liste de constantes choisies sans aucune règle, les symboles pour ces commas sont complètement réguliers à partir de la 13-limite. Les seuls irréguliers : la 5-limite avec un signe plus et moins pour le comma syntonique, la 7-limite avec une flèche basée sur le chiffre 7 (la même que chez Helmholtz-Ellis) pour 35/36, et la 11-limite avec une flèche conventionnelle pour 33/32. (On peut apposer les altérations pour la 7-limite aux altérations pythagoriciennes, mais ici ce n’est pas obligatoire, donc aucun problème.)

À partir de la 13-limite, chaque altération utilise tout simplement le nombre premier lui-même pour l’altération positive… (oui, continuez comme ça !)

…et le nombre premier renversé pour l’altération négative. Quoi ? La seule raison pour laquelle ce n’est pas un problème énorme, c’est que la 11-limite est elle-même représentée par un symbole irrégulier, pas le nombre 11, qui ne change pas d’apparence lorsqu’il est renversé si on écrit le chiffre 1 avec une ligne verticale. Sinon, 686989 est le plus petit nombre avec ce problème.

Le FJS utilise le nombre lui-même pour toutes les altérations, les renverse en ajoutant une barre, et les compose en les multipliant. Je suppose que celles de Johnston seraient composées tout simplement en les enchaînant (ce qui est parfois équivoque ; 137, 13, et 7 sont tous des nombres premiers, merci au lecteur Volleo 6144 pour avoir remarqué cela), mais je n’ai jamais vu cela chez Johnston.

Un point pour le FJS et un demi-point pour Johnston.

FJS : 4, HE : 1.5, Johnston : 1.5.

Comportement des altérations

Voyons alors comment ces altérations fonctionnent. Comment transforment-elles les notes où elles sont appliquées ?

Chez Helmholtz-Ellis, une note sera toujours élevée par une altération positive et baissée par une négative. C’est une généralisation de l’idée qu’un dièse élève et un bémol baisse.

Chez Johnston, toutes les altérations positives sont otonales et toutes les négatives sont utonales, sauf 81/80. C’est une généralisation de l’idée qu’un dièse ajoute des quintes et un bémol en soustrait.

Dans le FJS, les altérations positives sont toujours otonales et les négatives toujours utonales.

Ceci est probablement le point où ma comparaison sera la plus controversée, parce qu’ici, je ne peux pas nommer une raison absolue pour laquelle je crois que l’indication de l’otonalité ou utonalité est meilleure que l’indication de la direction. Je peux uniquement dire ceci : Après que j’ai inventé le FJS où les altérations fonctionnaient d’abord comme chez Helmholtz-Ellis, lorsque je l’ai utilisé pour analyser quelques accords et intonations, tout à coup je me suis rendu compte que l’indication de la direction est trop compliquée et que je la transformerai en une indication de la tonalité tout de suite. Ce changement a beaucoup simplifiée mes pensées dans le FJS, donc il est resté. Je peux uniquement espérer que vous, les lecteurs, le comprendrez aussi.

On aurait presque un remis entre le FJS et Johnston. Mais Johnston a une exception pour sa propre règle : 81/80. Mais pour la raison que 81/80 n’a pas le même rang que les autres altérations chez Johnston, et aussi parce que les signes plus et moins indiquent profondément une idée de élever et baisser, je vais lui pardonner ce péché.

(Si vous pensez quand même que l’indication de la direction est meilleure, vous pouvez donner un point à Helmholtz-Ellis au lieu du FJS et Johnston. À la fin, il n’y aura aucune différence.)

Un point pour Johnston et le FJS.

FJS : 5, HE : 1.5, Johnston : 2.5.

Noms de notes

Voyons alors quelque chose de différent : des noms de notes (donc aussi des noms d’intervalles). Pendant que Helmholtz-Ellis et Johnston trouvent cette idée peu importante, le FJS commence ici et construit la notation de portée de ces noms.

Il est presque impossible de nommer des notes chez Helmholtz-Ellis à cause de ses symboles chaotiques, sauf si on utilisait un système complètement différent ou écrivait avec la police de caractères reservée. Je n’ai pas encore vu quelque chose comme ça.

Chez Johnston, il semble que ses altérations puissent permettre cela. Mais la notation de Johnston a aussi un système bizarre où quelques altérations sont écrites entre le ton diatonique et l’altération pythagoricienne, et il n’y a aucune règle pour cela. Si on voudrait écrire Mi♭⁷ dans le FJS, ce serait Mi7♭+ chez Johnston (oui!). Le signe 7 est écrit entre le Mi est le ♭, mais le signe plus est écrit après le ♭. Il saute le plus aux yeux que le comma septimal chez Johnston est représenté avec deux altérations : premièrement baisse d’un comma syntonique et septimal, puis rehausse d’un syntonique.

Johnston a aussi un système profond pour la prononciation de ces noms. Il est similaire à celui du FJS, mais beaucoup plus compliqué, parce que les commas pour 5, 7, et 11 utilisent des symboles irréguliers. Kyle Gann démontre un exemple en anglais : « G-sharp-up-arrow-double-sub-seven-minus » (environ « Sol-dièse-flèche-en-haut-double-sub-sept-moins »). Cela est beaucoup plus compliqué que le nom le plus compliqué chez le FJS, qui suit toujours le schéma suivant : (partie pythagoricienne)-(préfixe « super » optionnel)-(otonal)-(« sub »)-(utonal) dans cet ordre. Gann écrit que les combinaisons des altérations ne sont pas uniformisées chez Johnston.

Ce système est pourtant meilleur que rien.

Ni Helmholtz-Ellis ni Johnston peuvent nommer des intervalles, ce qui serait une traduction directe des rapports JI sans tonique.

Un point pour le FJS et un demi-point pour Johnston.

FJS : 6, HE : 1.5, Johnston : 3.

Étendue et précision

Tous les trois systèmes peuvent écrire JI sans aucun doute à propos de la hauteur exacte, il n’y a pas de précision maximale. (C’est pourquoi je n’ai pas mentionné Sagittal. Chez Sagittal il y aura toujours une précision maximale. D’ailleurs Sagittal est basé à des principes très différents puisqu’il peut écrire toute la musique microtonale.)

À propos de l’étendue : Je pourrais dire que le FJS atteint la première place, puis Helmholtz-Ellis, puis Johnston. Mais cette comparaison manque du sens ; nous comparons tout simplement les nombres d’aujourd’hui. Il ne fait aucune différence que Helmholtz-Ellis peut décrire la 61-limite mais Johnston ne peut écrire que la 31-limite, parce que quelqu’un pourrait tout simplement inventer plus de commas et étendre la notation de Johnston jusqu’à la 127-limite s’il voulait. Ce qui compte vraiment, c’est que le FJS peut écrire toute l’intonation juste et qu’il peut le faire maintenant. Selon ses propres principes, ni Helmholtz-Ellis ni Johnston ne peuvent jamais décrire autant de l’intonation juste que le FJS ; pour étendre ces deux systèmes, il faut vraiment que quelqu’un cherche dans l’échelle harmonique. Le FJS le fait automatiquement, donc il est toujours en avance.

C’est le deuxième avantage important d’avoir un algorithme dans le FJS : il n’a littéralement aucune limite.

(Helmholtz-Ellis peut recevoir un demi-point puisque la différence entre lui et Johnston est tellement grande.)

Un point pour le FJS et un demi-point pour Helmholtz-Ellis.

FJS : 7, HE : 2, Johnston : 3.

Automatisation

Le troisième et dernier avantage de l’algorithme dans le FJS est qu’il peut être automatisé. On peut calculer la représentation FJS de chaque rapport JI en utilisant seulement le rayon de tolérance. C’est pourquoi, à l’avenir, on pourra intégrer le FJS dans des logiciels de musique.

Chez Helmholtz-Ellis ça marche aussi. Il y a seulement une différence : Helmholtz-Ellis a parfois besoin de deux altérations pour un nombre premier. Pourtant il est possible d’automatiser ce processus sans aucun problème. Il y a une calculatrice en ligne à cet usage.

Et Johnston ? Le même site a aussi une calculatrice de Johnston à HE. Cela fonctionne si vous voulez toujours être dépendant de votre ordinateur. Néanmoins, souvent quand on compose, on ne veut pas toujours travailler supportés par l’ordinateur.

Le FJS a l’avantage énorme que ses algorithmes sont très faciles à réaliser mentalement. C’est pourquoi on peut l’utiliser très vite. Mais si vous vouliez essayer le même chez Johnston…

Pour chaque 5 dans le numérateur : Additionnez une tierce majeure. (Un signe plus pour Ré.)

Pour chaque 7 dans le numérateur : Additionnez une septième mineure et un 7. (Un signe plus pour Sol, Si, Ré.)

Pour chaque 9 dans le numérateur : Additionnez une seconde majeure. (Un signe plus pour Mi, Sol, Si, Ré.)

Pour chaque 11 dans le numérateur : Additionnez une quarte juste et ↑. (Un signe moins pour La, Fa.)

Pour chaque 13 dans le numérateur : Additionnez une sixte mineure et un 13. (Un signe moins pour Fa.)

Pour chaque 17 dans le numérateur : Additionnez un dièse et un 17.

Pour chaque 19 dans le numérateur : Additionnez une tierce mineure et un 19. (Un signe plus pour Ré.)

Ceci, c’est seulement une partie des règles dont on a besoin pour traduire un rapport JI en notation Johnston, selon Kyle Gann.

Ce qui est le plus irritant, c’est qu’il y a aussi des règles supplémentaires pour ajouter des signes plus et moins selon les notes qui sont différentes pour chaque nombre premier. (Je comprends qu’il y a une relation entre ces notes et le nombre premier, mais c’est quand même beaucoup trop compliqué !)

Et c’est vraiment seulement une partie de l’équivalent chez Johnston d’une règle qu’on peut résumer dans un petit algorithme dans le FJS.

Un point pour Helmholtz-Ellis et le FJS.

FJS : 8, HE : 3, Johnston : 3.

Exemples

Vous pensez maintenant probablement : comme c’est une analyse très abstraite, comment fonctionnent des exemples dans la réalité, le côté pratique ?

Vous voyez ici donc des exemples de contextes JI très fréquents pour qu’on voie comment se comportent tous les trois systèmes en ce qui concerne leur efficacité. (Pour représenter des noms de notes chez Helmholtz-Ellis, j’ai utilisé tout simplement +5, +7, etc. pour les hausses et −5, −7, etc. pour les baisses, comme elles fonctionnent dans la notation.)

L’échelle harmonique 1–32

FJS. Une minute de durée pour écrire ce tableau.

Helmholtz-Ellis. Deux minutes. D’abord, je n’étais pas sûr de tous les résultats, dont je les ai vérifiés avec la calculatrice.

Ben Johnston. Trois minutes, étant donné que j’ai déjà vu ce fragment de l’échelle harmonique chez Johnston.

Le Well-Tuned Piano par La Monte Young

Notation de Young. (Les notes sont arrangées selon leur hauteur absolue, donc Sol♯ devant Sol puisqu’il est plus bas.)

Mi♭, Mi, Fa, Fa♯, Sol♯, Sol, La, Si♭, Si, Do♯, Do, Ré, Mi♭.

FJS. Aussi court que Young, sans devoir compter sur une attribution abstraite du clavier. Il écrit aussi la tonique en utilisant son vrai nom, d’après La = 440 Hz, l’accord du piano de Young.

Ré₇, Mi, Mi₇, Fa⁷, Sol⁷, Sol, La, La₇, Si♭⁷, Do⁷, Do, Ré, Ré₇.

L’échelle sur Mi♭ est un peu plus longue.

Mi♭, Fa⁷, Fa, Sol♭⁴⁹, La♭⁴⁹, La♭⁷, Si♭⁷, Si♭, Do♭⁴⁹, Ré♭⁴⁹, Ré♭⁷, Mi♭⁷, Mi♭.

Helmholtz-Ellis. Aussi court que le FJS sur Mi♭.

Mi♭, Fa−7, Fa, Sol♭−7−7, La♭−7−7, La♭−7, Si♭−7, Si♭, Do♭−7−7, Ré♭−7−7, Ré♭−7, Mi♭−7, Mi♭.

Ben Johnston. Beaucoup trop long. Remarquez aussi les commas syntoniques, bien sûr dans un accord sans aucun facteur de 5.

Mi♭, Fa7++, Fa+, Sol77♭+, La77♭++, La7♭+, Si7♭+, Si♭, Do77♭+, Ré77♭+, Ré7♭, Mi7♭+, Mi♭.

La “Harp of New Albion” par Terry Riley

Notation de Riley.

Do♯, Ré, Ré♯, Mi, Mi♯, Fa♯, Sol, Sol♯, La, La♯, Si, Si♯, Do♯.

FJS. Les tons pythagoriciens sont identiques à ceux de Riley.

Do♯⁵, Ré, Ré♯⁵, Mi, Mi♯²⁵, Fa♯⁵, Sol, Sol♯⁵, La, La♯²⁵, Si⁵, Si♯²⁵, Do♯⁵.

Helmholtz-Ellis. Presque identique au FJS, un remis.

Do♯−5, Ré, Ré♯−5, Mi, Mi♯−5−5, Fa♯−5, Sol, Sol♯−5, La, La♯−5−5, Si−5, Si♯−5−5, Do♯−5.

Ben Johnston. Dit optimal pour la musique de la 5-limite. Les calculs pour cette séquence ont duré environ trois minutes.

Do♯+, Ré, Ré♯+, Mi+, Mi♯+, Fa♯+, Sol, Sol♯+, La+, La♯+, Si, Si♯+, Do♯+.

Comparaison de notation

Dans cette comparaison de la pratique des trois systèmes, on voit une harmonisation d’une mélodie médiévale dans le mode dorien sur Ré, 12 mesures. Le fait que c’est la 5-limite donnerait, certes, un avantage injuste à Johnston… voyez vous-même.

Vous pouvez aussi écouter :

Vous trouverez plus de comparaisons entre les exemples.

Jugement

Ce n’est aucune surprise que le FJS est le meilleur système de notation pour l’intonation juste. Helmholtz-Ellis et Johnston ne sont pas efficaces pour la notation de JI à cause de leurs nombreux points faibles. Le FJS est donc beaucoup meilleur que Helmholtz-Ellis et meilleur que Johnston en ce qui concerne la notation de l’intonation juste.

Une remarque à Kyle Gann

Comme j’ai déjà dit : Le manuel du système de Johnston écrit par Kyle Gann contient un addenda où il explique pourquoi il préfère Johnston plutôt que Helmholtz-Ellis bien que ses tons diatoniques soient tellement mal choisis.

Vous expliquez qu’il est beaucoup plus facile de déterminer la hauteur de Si♭ sur Do chez Johnston que chez Helmholtz-Ellis. Chez Johnston, Do–Si est 15/8, un bémol le baisse de 25/24, donc 9/5. Au contraire, chez Helmholtz-Ellis, Do–Si est 243/128, un bémol le baisse de 2187/2048, et vous avez besoin d’une calculatrice pour calculer que cela s’élève à 16/9. Vous trouvez la cohérence peu importante, et alors vous rejetez Helmholtz-Ellis parce que vous pensez qu’il vous obligerait à faire des calculs avec des nombres à quatre chiffres.

Je réponds à cet argument parce qu’il est basé sur le fait que Helmholtz-Ellis, comme le FJS, utilise l’échelle pythagoricienne pour sa base. Si cet argument est valide contre Helmholtz-Ellis, il est valide aussi contre le FJS.

Je réponds aussi parce que – non – il n’est pas valide. Il est une erreur.

Il est vrai que la notation de Ben Johnston oblige l’utilisateur à constamment multiplier et diviser parce que même les notes les plus simples se composent de plusieurs facteurs de 5 jonglés dans tous les côtés. Puisque l’échelle de la 5-limite se contredit elle-même, cela signifie aussi que l’utilisateur doit toujours penser en cette échelle au lieu des intervalles.

Quand vous essayez la notation de Helmholtz-Ellis, vous assumez automatiquement les mêmes restrictions que chez Johnston : vous voulez calculer la hauteur d’une septième mineure en utilisant celle d’une majeure moins un demi-ton chromatique. Vous critiquez Helmholtz-Ellis pour la raison qu’un de ces intervalles nécessite un nombre à quatre chiffres pendant que Johnston utilise souvent seulement des nombres à deux chiffres maximum.

Mais la septième mineure est tellement proche dans le cycle des quintes ; ce ne sont que deux quartes justes (4/3, pas comme chez Johnston où Do–Fa est 4/3 mais Fa–Si♭ est 27/20). Pourquoi additionneriez-vous cinq quintes (septième majeure) pour tout de suite en soustraire sept (demi-ton chromatique) ? Voyageriez-vous de North Carolina à South Carolina via Maine ? Vous auriez probablement une option complètement différente s’il s’agissait de Sol–(Fa♯)–Fa, bien qu’il n’y ait aucune différence dans le FJS. Bien que la septième mineure de Do soit écrit avec un bémol, vous n’avez pas l’obligation d’en penser comme ça ; vous le faites parce que Johnston vous oblige à cette manière de penser. Modulez à Sol. Ou bien Ré. Ou bien La, ou Mi, ou Si. Ici, la septième mineure est une note sans altération, pourtant nous ne sommes pas chez Johnston : sa hauteur ne change pas.

Votre algorithme pour calculer des rapports JI de la notation commence en fait avec l’analyse des tons diatoniques. C’est dû au fait que cet intervalle dépend de ces notes chez Johnston, donc il n’y a aucune autre méthode. Ré–Mi est par exemple 10/9, ça n’égale pas Do–Ré, 9/8. Helmholtz-Ellis et le FJS n’ont pas cette restriction ridicule. Chaque seconde majeure s’élève à 9/8. Le compositeur peut alors être libéré de la pensée en échelle diatonique. Cela nous permet aussi de traduire entre des rapports et des noms d’intervalles directement.

Vous auriez pu déterminer que Do–Si♭ s’élève à 16/9 avec beaucoup, beaucoup de méthodes, beaucoup plus simples que 243/128 × 2048/2187 ; vous avez trouvé la méthode la plus difficile (qui correspond à la seule méthode chez Johnston pour obtenir 9/5).

Vous auriez pu remarquer que Do et Si♭ n’ont aucune altération microtonale, donc par définition des notes diatoniques, la septième mineure entre eux est pythagoricienne, alors 16/9. Ou vous auriez pu remarquer qu’elle est composée de deux quartes 4/3, alors 16/9. Ou vous auriez pu remarquer qu’elle est le renversement de la seconde majeure 9/8, donc 16/9. Le FJS vous donne une telle liberté de méthodes très rapides et efficaces pour lire et pour écrire, qui n’est pas du tout comme le processus lent et ennuyeux chez Johnston.

Voici un extrait du Quatuor n^o 9 de Ben Johnston, qui est un exemple de la notation de Johnston que vous présentez dans votre manuel :

Il ne faut que deux mesures et quatre instruments, en Do (ce qui devrait être la meilleure tonalité pour la notation de Johnston !), dans l’une des échelles les plus simples : celle des harmoniques, du seizième jusqu’au trente-deuxième… et malgré tout cela, on trouve ici une – non, deux – non, trois erreurs ! Les voici : premièrement, chez l’alto dans la première mesure, on trouve 99/64 au lieu de 11/8 ; deuxièmement, dans la seconde mesure, tous les instruments sauf le premier violon ont 39/32 au lieu de 19/16 ; et finalement, les deux dernières notes de l’alto s’élèvent à 153/128 et 9/8 au lieu de 17/16 et 1/1. (Les rapports signifient toujours les intervalles par rapport à Do, sans octaves.)

Cela n’est aucune surprise que le brouillamini qui est la notation de Johnston cause autant de confusion même si on compose en une tonalité tellement simple, avec Do comme tonique (sans parler de Ré, par exemple, ou Si♭).

En revanche, voici le même extrait écrit dans le FJS, y compris les erreurs. Remarquez comment les erreurs deviennent claires et visibles:

Je vois que vous êtes habitué aux menottes de Johnston et vous êtes paralysé lorsque Helmholtz-Ellis ou le FJS vous libèrent parce que vous aviez été menotté pour tellement longtemps.

Avouez que c’est le FJS et non Johnston qui est « élégant » et « intuitif » et « exacte » et « très logique » et « ayant du sens harmonique, clarifiant les rapports harmoniques ».

Passez au FJS. Il simplifiera beaucoup les mathématiques et la notation de vos compositions.

Ou ne le faites pas, et continuez à jongler des commas syntoniques.

D’autres peuvent avoir des autres critères.